题目内容
对于定义在实数集上的两个函数,若存在一次函数使得,对任意的,都有,则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知(,为自然对数的底数),
(1)求的递增区间;
(2)当时,函数是否存在过点的“分界线”?若存在,求出函数的解析式,若不存在,请说明理由。
(1)①若,则,此时的递增区间为;
②若,则或,此时的递增区间为;
③若,则的递增区间为;
④若,则或,此时的递增区间为。
(2)存在函数的图像是函数过点的“分界线”
解析试题分析:解:(1),
由得
①若,则,此时的递增区间为;
②若,则或,此时的递增区间为;
③若,则的递增区间为;
④若,则或,此时的递增区间为。
(2)当时,,假设存在实数,使不等式对恒成立,由得到对恒成立, 则,得,
下面证明对恒成立。
设,,,
且时,,,
时,,
所以,即对恒成立。
综上,存在函数的图像是函数过点的“分界线”。
考点:导数的运用
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数单调性,以及导数几何意义的运用,属于中档题。
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