Question

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数的有

②③

（填写函数编号）
①y=|x-2|；
②y=x|x-2|；
③y=x³-3x+1；
④y=x³+x+3．

Answer 1

分析：①和②可讨论x去绝对值，然后根据二次函数可得函数的单调区间，③和④都是多项式函数，可利用导数研究函数的单调区间，然后根据“好函数”的定义进行判定即可．

解答：解：①中函数y=|x-2|定义域为R，y=|x-2|=

x -2，x＞2 2-x ，x≤2

∴不存在a，使y=|x-2|在（-∞，a）上单调递增，故不正确；
②中函数y=x|x-2|定义域为R，y=x|x-2|=

x2-2x，x＞2 2x-x2，x≤2

∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
③中函数y=x³-x+1定义域为R，则y′=3x²-1＜0解得x∈（-

3

3

，

3

3

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-

3

3

）∪（

3

3

，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）上单调递增，在（-

3

3

，

3

3

）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
④中函数y=x³+x+3定义域为R，则y′=3x²+1＞0恒成立
故不存在a＜b，使函数y=x³+x+3在（a，b）上单调递减，不满足好函数的定义，故不正确；
故答案为：②③

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及绝对值函数的处理方法和新定义，同时考查了转化的思想，属于中档题．