题目内容
在等差数列和等比数列中,,,是前项和.
(1)若,求实数的值;
(2)是否存在正整数,使得数列的所有项都在数列中?若存在,求出所有的,若不存在,说明理由;
(3)是否存在正实数,使得数列中至少有三项在数列中,但中的项不都在数列中?若存在,求出一个可能的的值,若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在,;(3)存在,(答案不唯一).
【解析】
试题分析:(1)数列是等比数列,其前和的极限存在,因此有公式满足,且极限为;(2)由于是正整数,因此可对按奇偶来分类讨论,因此当为奇数时,等比数列的公比不是整数,是分数,从而数列从第三项开始每一项都不是整数,都不在数列中,而当为偶数时,数列的所有项都在中,设,则,展开有
,这里用到了二项式定理,,结论为真;(3)存在时只要找一个,首先不能为整数,下面我们只要写两数列的通项公式,让,取特殊值求出,如取,可得,此时在数列中,由于是无理数,会发现数列除第一项以外都是无理数,而是整数,不在数列中,命题得证,(如取其它的又可得到另外的值).
试题解析:(1)对等比数列,公比.
因为,所以. 2分
解方程, 4分
得或.
因为,所以. 6分
(2)当取偶数时,中所有项都是中的项. 8分
当时,
说明的第n项是中的第项. 10分
当取奇数时,因为不是整数,
所以数列的所有项都不在数列中。 12分
综上,所有的符合题意的。
(3)由题意,因为在中,所以中至少存在一项在中,另一项不在中。 14分
由得,
取得,即.
取4,得(舍负值)。此时。 16分
当时,,,对任意,. 18分
综上,取.
(此问答案不唯一,请参照给分)
考点:(1)数列的极限,无穷等比数列的和;(2)等差数列与等比数列的通项公式;(3)数列的项的综合问题.