题目内容
【题目】如图，已知等边
中，
，
分别为
，
边的中点，
为
的中点，
为
边上一点，且
，将
沿
折到
的位置，使平面
平面
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）首先根据已知条件可证出
，再由面面垂直的性质定理并结合平面
平面
可得出
平面，然后再由
和
可证得
，再在正
中易证得
平面
，最后由面面垂直的判定定理即可得出所证的结论；（2）首先建立空间直角坐标系，并正确写出各点的空间坐标，然后由法向量的定义分别求出平面
和平面
的法向量，最后由公式
即可计算出所求的角的大小.
试题解析：（Ⅰ）因为
，
为等边的
，
边的中点，
所以
是等边三角形，且
.因为
是
的中点，所以.
又由于平面平面，
平面
，所以平面.
又
平面，所以.因为，所以
，所以.
在正中知
，所以
.而
，所以平面.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ）设等边的边长为4，取
中点
，连接
，由题设知
，由（Ⅰ）知
平面
，又
平面，所以
，如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，则
由
得
令
，则
.
平面的一个法向量为
，所以
，
显然二面角
是锐角.所以二面角
的余弦值为
.
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