题目内容

设函数f(x)的定义域为R,若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立,则称函数f(x)为Ω函数.

(Ⅰ)求证:若函数f(x)为Ω函数,则f(0)=0;

(Ⅱ)试判断函数f1(x)=xsinx、f2(x)=和f3(x)=中哪些是Ω函数,并说明理由;

(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数,函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|<1,试判断函数f(x)是否为Ω函数,并说明理由.

答案:解:(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为R,且|f(x)|≤|x|,

∴|f(0)|≤0,又|f(0)|≥0,∴f(0)=0. 

(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|,

∴f1(x)=xsinx是Ω函数;

∵f2(0)=>0

∴f2(x)=不是Ω函数;

=|x|,

∴f3(x)=是Ω函数.

(Ⅲ)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(0)=0

∵|f′(x)|<1,∴-1<f′(x)<1.

当x≥0时,

设函数F(x)=f(x)-x,和G(x)=f(x)+x.

∴F′(x)=f′(x)-1<0,G′(x)=f′(x)+1>0.

∴F(x)=f(x)-x在[0,+∞)上是减函数,

G(x)=f(x)+x在[0,+∞)上是增函数.

∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0,

G(x)=f(x)+x≥G(0)=0.

∴-x≤f(x)≤x.

∴当x≥0时,|f(x)|≤|x|成立.

当x<0时,-x>0,∴|f(-x)|<|-x|,

∵f(x)为奇函数,∴|-f(x)|<|-x|,

即|f(x)|<|x|成立.

∴当x∈R时,|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立.故函数f(x)是Ω函数.

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