题目内容
设函数f(x)的定义域为R,若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立,则称函数f(x)为Ω函数.(Ⅰ)求证:若函数f(x)为Ω函数,则f(0)=0;
(Ⅱ)试判断函数f1(x)=xsinx、f2(x)=和f3(x)=中哪些是Ω函数,并说明理由;
(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数,函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|<1,试判断函数f(x)是否为Ω函数,并说明理由.
答案:解:(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为R,且|f(x)|≤|x|,
∴|f(0)|≤0,又|f(0)|≥0,∴f(0)=0.
(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|,
∴f1(x)=xsinx是Ω函数;
∵f2(0)=>0
∴f2(x)=不是Ω函数;
∵=|x|,
∴f3(x)=是Ω函数.
(Ⅲ)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∵|f′(x)|<1,∴-1<f′(x)<1.
当x≥0时,
设函数F(x)=f(x)-x,和G(x)=f(x)+x.
∴F′(x)=f′(x)-1<0,G′(x)=f′(x)+1>0.
∴F(x)=f(x)-x在[0,+∞)上是减函数,
G(x)=f(x)+x在[0,+∞)上是增函数.
∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0,
G(x)=f(x)+x≥G(0)=0.
∴-x≤f(x)≤x.
∴当x≥0时,|f(x)|≤|x|成立.
当x<0时,-x>0,∴|f(-x)|<|-x|,
∵f(x)为奇函数,∴|-f(x)|<|-x|,
即|f(x)|<|x|成立.
∴当x∈R时,|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立.故函数f(x)是Ω函数.
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