题目内容

已知函数f（x）=2-（ $数学公式$ sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（ $数学公式$ ）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的最大值和最小值．

解：（I） $\text{[math]}$ =2-1=1．
∵函数f（x）=2-（ $\text{[math]}$ sinx-cosx）²
=2- $\text{[math]}$
=2-（1+ $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
=cos2x+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴函数f（x）的周期为 $\text{[math]}$ ．
（II）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
所以当 $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，函数取得最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用特殊角的三角函数值即可得到 $\text{[math]}$ ，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；
（II）由 $\text{[math]}$ 时，得到 $\text{[math]}$ ，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．
点评：熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．

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