题目内容

已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;
(3)已知,且函数在R上是单调函数,探究函数的单调性.
(1)(2)(3)函数在R上是减函数

试题分析:(1)
的零点问题转化为方程的根的问题.
(2)因为,由题设可知有两个两点,其中一个在,一个在,解这个不等式,可得实数的取值范围.
(3)
由函数在R上是单调函数,所以,得到的关系,然后由此关系推出.
试题解析:
解:(1)
g(x)="0," 有ex-1=0,即x=0;或 x2-2xa=0;,
①当时,函数有1个零点 ;  1分
②当时,函数有2个零点;2分
③当时,函数有两个零点;3分
④当时,函数有三个零点:
   4分
(2),5分
的图像是开口向下的抛物线,
由题意对任意有两个不等实数根
则对任意,
,有,7分
又任意关于递增, ,
,所以.
所以的取值范围是  9分
(3)由(2)知, 存在,又函数在R上是单调函数,故函数在R上是单调减函数, 10分
来说
 11分  
所以对于函数来说
 12分
即对任意
故函数在R上是减函数.   13分
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