Question

20．若数列{a_n}满足a₁=1，且$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，则a₁a₂+a₂a₃+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁=$\frac{2010}{2011}$．

Answer 1

分析 由等差数列的定义可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式可得a_n=$\frac{1}{n}$，再由裂项相消求和计算即可得到所求．

解答 解：由a₁=1，且$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为1，公差为1的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+n-1=n，
即a_n=$\frac{1}{n}$，
则a₁a₂+a₂a₃+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2010×2011}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$
=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$．
故答案为：$\frac{2010}{2011}$．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式的运用，考查裂项相消求和的方法，属于中档题．