题目内容
【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数.
（1）求函数
的单调区间和最值；
（2）当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）在
单调递减，在
单调递增，最小值
，无最大值；（2）
【解析】
（1）对函数
求导，令
及求出
时
的取值范围，可得的单调区间，及的最值；
（2）设
，即证
时，
恒成立，对
求导，分
与
进行讨论，可得
的取值范围.
解：（1）由题可知，的定义域为
，
，
∴在单调递减，在单调递增.
∴在
时取得最小值，无最大值.
（2）设
，即证时，恒成立.
【法一】
①时，
恒成立，故在上单调递增，∴
恒成立，符合题意.
②时，
恒成立，故
在上单调递增，有
.
ⅰ.
即
时，此时
恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.
ⅱ.
即
时，
，使得
，此时在
单调递减，
单调递增.
∴
，不满足题意，舍去.
综上所述，.
【法二】
由
，发现
，故时，恒成立的必要条件是.
而，
，即
①时，
恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.
②时，在
时，
，
，知
.
故在上单调递增，恒成立，符合题意.
综上所述，.
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表：
学时数 |
|
|
|
|
|
|
|
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．
（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下
列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每则平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.调查部分结果如下
列联表：
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育运动时间不超过4小时 | 35 | ||
每周平均体育运动时间超过4小时 | 30 | ||
总计 | 200 |
（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；
（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
