Question

若多项式（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，则a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=

1. A.
   2¹⁸
2. B.
   2¹⁷
3. C.
   2¹⁶
4. D.
   2¹⁵

Answer 1

A
分析：通过二项式定理求出所求各项的系数，利用C_mⁿ=C_m-1^n-1 与C_mⁿ=C_m^m-n化简表达式，求出所求和即可．
解答：由（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，可知，
a₀=C₁₆⁰ a₁=C₁₆¹ a₂=C₁₆² …a₈=C₁₆⁸
故（a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈）=C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸
因为C_mⁿ=C_m-1^n-1 （m≥n，且同是自然数．）
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸=C₁₆¹+2×C₁₅¹+3×C₁₅²+…+8×C₁₅⁷
=16（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅⁷）
因为，C_mⁿ=C_m^m-n
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸
=（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅¹⁵）
=
=2¹⁸
故a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=2¹⁸．
故选A．
点评：本题考查二项式定理系数的性质，组合数公式的灵活应用，考查计算能力，转化思想．