Question

若多项式（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m满足：a₁+2a₂+…+ma_m=448，则不等式

1

a3

+

2

a3

+…+

n

a3

≥

3

4

成立时，正整数n的最小值为

7

．

Answer 1

分析：利用函数的导数，通过x=1求出的值，然后求出a₃，利用数列求和结合不等式求出n的值．

解答：解：设y=（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，
y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，
令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=448=2⁶×7．
解得m=7．∴a₃=C₇³=35．

1

35

+

2

35

+…+

n

35

=

n(1+n)

70

≥

3

4

，
解得n＞6．
正整数n的最小值为：7．
故答案为：7．

点评：本题考查二项式定理的应用，函数的导数数列求和，考查转化思想以及计算能力．