题目内容

设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[﹣1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．
解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b
由已知﹣2、4是方程x2+ax﹣b=0的两个实数
由韦达定理，∴，
f（x）=x2﹣2x﹣8
（2）g（x）在区间[﹣1，3]上是单调减函数，
所以在[﹣1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b≤0，
即f（x）=x2+ax﹣b≤0在[﹣1，3]恒成立
这只需满足即可，也即
而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，
其中点（﹣2，3）距离原点最近，所以当时，a2+b2有最小值13．
练习册系列答案
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（2011•聊城一模）已知函数f(x)=sin(2ωx-
π
6
)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π，
（1） 求函数f（x）的单调递增区间；
（2） 设函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最小值为-
3
2
，求函数f（x），（x∈R）的值域．
（2009•枣庄一模）已知函数f（x）=
1
2
x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a为常数，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上是增函数，且h'（x）存在零点（h'（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）设A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函数y=g（x）的图象上两点，g'（x0）=
g(n)-g(m)
n-m
（g'（x）为g（x）的导函数），证明：m＜x0＜n．
（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．

设函数g(x)= (a，b∈R)，在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x)．

   （1）若方程f(x)=0有两个实根分别为一2和4，求f(x)的表达式；

   （2）若g(x)在区间[一1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．
设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得y0=f(x0)=x0，则称以(x0,y0)为坐标的点为函数图象上的不动点.

(1)若函数f(x)=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件;

(2)在(1)的条件下，若a=8，记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A′，P为函数f(x)的图象上的另一点，且其纵坐标yP＞3，求点P到直线AA′距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.

(3)命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.

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