Question

如图所示，设 A，B，C，D是不共面的四点，P，Q，R，S分别是AC，BC，BD，AD的中点，若AB=12

2

，CD=4

3

，且四边形PQRS的面积是12

3

，求异面直线AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线的性质定理证出四边形SRQP是平行四边形，得到∠SRQ是要求的异面直线所成的角，根据所给的条件写出角所在的三角形中的线段的长，得到要求的角的正弦值，得到结果．

解答：解：由题意知SR是△ABD的中位线，
∴SR∥

1

2

AB，SR=

1

2

AB，
同理PQ∥

1

2

AB，PQ=

1

2

AB，
∴SR∥PQ，SR=PQ，
∴四边形SRQP是平行四边形，
∴∠SRQ是要求的异面直线所成的角，
在四边形SRQP中，SR=6

2

，RQ=2

3

四边形PQRS的面积是12

3

，
∴SR上的高为

12 3

6 2

=

6

∴sin∠SRQ=

2

2

∴∠SRQ=45°
∴异面直线AB和CD所成角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线所成的角，本题解题的过程是先做出角，再证明角是异面直线所成的角，最后求出角的大小．