题目内容
各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn=(
)2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
+
+…+
<k恒成立,求k的取值范围;
(3)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.
an+1 |
2 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
(3)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.
分析:(1)由Sn=(
)2,知Sn-1=(
)2,n≥2,由此得到an=(
)2-(
)2,n≥2,由此能能求出an.
(2)由k>(
+
+…+
)max,
=
=
(
-
),结合题设条件能求出k的取值范围.
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,由2m-1+
<n<22m-1+
,能求出数列{bm}的前m项和Sm.
an+1 |
2 |
an-1+1 |
2 |
an+1 |
2 |
an-1+1 |
2 |
(2)由k>(
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
1 |
anan+1 |
1 |
(2n-1)(2n+1) |
1 |
2 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,由2m-1+
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:(1)∵Sn=(
)2,
∴Sn-1=(
)2,n≥2,
两式相减得an=(
)2-(
)2,n≥2,…(2分)
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an-an-1=2,n≥2,∴{an}是公差为2的等差数列,…(4分)
又S1=(
)2得a1=1,∴an=2n-1.…(5分)
(2)由题意得k>(
+
+…+
)max,
∵
=
=
(
-
),
∴
+
+…+
=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=
(1-
)<
…(8分)∴k≥
…(10分)
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,则2m-1+
<n<22m-1+
,
而n∈N*,由题意可知bm=22m-1-2m-1,…(12分)
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
-
=
-(2m-1)=
,
即Sm=
.…(16分)
an+1 |
2 |
∴Sn-1=(
an-1+1 |
2 |
两式相减得an=(
an+1 |
2 |
an-1+1 |
2 |
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an-an-1=2,n≥2,∴{an}是公差为2的等差数列,…(4分)
又S1=(
a1+1 |
2 |
(2)由题意得k>(
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
∵
1 |
anan+1 |
1 |
(2n-1)(2n+1) |
1 |
2 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
∴
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
=
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,则2m-1+
1 |
2 |
1 |
2 |
而n∈N*,由题意可知bm=22m-1-2m-1,…(12分)
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
2-22m+1 |
1-22 |
1-2m |
1-2 |
22m+1-2 |
3 |
22m+1-3•2m+1 |
3 |
即Sm=
22m+1-3•2m+1 |
3 |
点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,考查数列的前m项和的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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