题目内容

各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn=(
an+1
2
)2

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
<k
恒成立,求k的取值范围;
(3)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm
分析:(1)由Sn=(
an+1
2
)2
,知Sn-1=(
an-1+1
2
)2,n≥2
,由此得到an=(
an+1
2
)2-(
an-1+1
2
)2,n≥2
,由此能能求出an
(2)由k>(
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
)max
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,结合题设条件能求出k的取值范围.
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,由2m-1+
1
2
<n<22m-1+
1
2
,能求出数列{bm}的前m项和Sm
解答:解:(1)∵Sn=(
an+1
2
)2

Sn-1=(
an-1+1
2
)2,n≥2

两式相减得an=(
an+1
2
)2-(
an-1+1
2
)2,n≥2
,…(2分)
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an-an-1=2,n≥2,∴{an}是公差为2的等差数列,…(4分)
S1=(
a1+1
2
)2
得a1=1,∴an=2n-1.…(5分)
(2)由题意得k>(
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
)max

1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]

=
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2
…(8分)∴k≥
1
2
…(10分)
(3)对任意m∈N+,2m<2n-1<22m,则2m-1+
1
2
<n<22m-1+
1
2

而n∈N*,由题意可知bm=22m-1-2m-1,…(12分)
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
2-22m+1
1-22
-
1-2m
1-2
=
22m+1-2
3
-(2m-1)=
22m+1-3•2m+1
3

Sm=
22m+1-3•2m+1
3
.…(16分)
点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,考查数列的前m项和的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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