题目内容

已知二次函数y=f（x）在x= $数学公式$ 处取得最小值- $数学公式$ （t≠0）且f（1）=0．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-1， $数学公式$ ]上的最小值为-5，求此时t的值．

解：（1）设f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ （a＞0）．
因为f（1）=0，所以（a-1） $\text{[math]}$ =0．
又t≠0，所以a=1，
所以f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ （t≠0）．
（2）因为f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ （t≠0），
①当 $\text{[math]}$ ＜-1，即t＜-4时，
f（x）_min=f（-1）=（-1- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ =-5，解得t=- $\text{[math]}$ ；
②当-1≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即-4≤t≤-1时，
f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ =-5，解得t=±2 $\text{[math]}$ （舍去）；
③当 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即t＞-1时，
f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ =-5，解得t=- $\text{[math]}$ （舍去）．
综上得，所求的t=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）（1）根据条件可设二次函数的顶点式f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）2- $\text{[math]}$ ，由f（1）=0，可得a，从而求得f（x）表达式．
（2）根据对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，求出其最小值，令其等于-5，即可求得t值．
点评：本题考查二次函数在闭区间上最值问题及二次函数解析式的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，属中档题．