题目内容
【题目】已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）不过原点
的直线与椭圆交于两点
、
，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）不定向，理由见解析.
【解析】
（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
，列出方程组能求出椭圆
的标准方程；
（2）由题意设直线
的方程为
，联立直线与椭圆的标准方程，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线的方向向量，由此能说明直线不定向.
（1）设椭圆的焦距为
，由已知得
，解得
，
，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可设直线的方程为
，
联立
，消去
并整理，得
，
计算
，此时设
、
，
则
，
，
于是
，
又直线
、
、
的斜率依次成等比数列，
，整理得
，
，即
，
，
，解得
，
则直线的方向向量为
，即直线是不定向的.
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