Question

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，2]
分析：首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验，从而得出结论．
解答：∵函数f（x）=x|x-a|=，对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式＞0恒成立，
故函数在[2，+∞）上是增函数．
（1）当a≤2时，
若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=，此时＜2，所以，f（x）在[2，+∞）上是递增的．
（2）当a＞2时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，由于其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[2，a），则f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，
因此f（x）在[2，a）上必有递减区间，故不满足条件．
综合（1）、（2）可知a≤2，
故答案为 （-∞，2]．
点评：本题考查了函数单调性的定义，同时考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．