Question

17．已知抛物线y²=2x的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点的坐标为（2，2）．

Answer 1

分析 求出焦点坐标和准线方程，设点P到准线的距离为d=|PM|，把|PA|+|PF|转化为|PA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入抛物线y²=2x，解得x值，即得P的坐标．

解答 解：由题意得 F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为 x=-$\frac{1}{2}$，设点P到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为|AM|=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
把 y=2代入抛物线y²=2x 得 x=2，故点P的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）．

点评 本题考查抛物线的定义和性质得应用，体现了转化的数学思想．