题目内容

已知函数f（x）=
xx为有理数
1-xx为无理数
函数f（x）在哪点连续（　　）
A、处处连续
B、x=1
C、x=0
D、x=
1
2
分析：本题要求从四个选项中找出函数在那个点处连续，由于函数的形式复杂，故求解本题时宜采用逐一验证排除法选出正确选项．
解答：解：对于选项A，由于f（x）=
xx为有理数
1-xx为无理数
，由定义知不可能处处连续，故A不对；
对于选项B，x=1左右两侧函数的极限一正一负，不可能相等，故B不对；
对于选项C，左侧函数极限为负，右侧函数极限为1，故在x=0处不连续；
对于选项D，由于
lim
x→
1
2
+
f（x）=
lim
x→
1
2
-
f（x）=f（
1
2
）．
故D正确．
故选D．
点评：本题考点是函数的连续性，考查由函数的连续性得到参数的方程求参数，函数连续性的定义是：如果函数在某点处的左极限与右极限相等且等于该点处的函数值，则称此函数在该点处连续．本题函数连续点甚少，故采取了逐一验证方法找出正确答案，在做选择题时要充分利用选项所提供的信息来帮助寻找出正确选项．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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