Question

已知O为△ABC的外心，cosA=

1

3

，若

AO

=α

AB

+β

AC

，则α+β的最大值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由cosA=

1

3

，不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．可得B，C，O的坐标，设A（m，n）．则△ABC外接圆的方程为：x²+（y-1）²=9．（*）利用向量相等

AO

=α

AB

+β

AC

，可得

-m=α(-2 2 -m)+β(2 2 -m) 1-n=-αn-βn

，又α+β≠1时，否则

CO

=α

CB

，由图可知是不可能的．可化为

m= 2 2 (β-α) α+β-1 n= -1 α+β-1

，代入（*）可得

8(β-α)2

(α+β-1)2

+

(-α-β)2

(α+β-1)2

=9，化为18（α+β）=9+32αβ，利用重要不等式可得18(α+β)≤9+32(

α+β

2

)2，化为8（α+β）²-18（α+β）+9≥0，即可解出．

解答：解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．
由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．
由cosA=

1

3

，不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．
∵cos∠COD=

OD

OC

=

1

3

，∴OD=1.DC=

OC2-OD2

=2

2

．
∴B(-2

2

，0)，C(2

2

，0)，O（0，1），A（m，n）．
则△ABC外接圆的方程为：x²+（y-1）²=9．（*）
∵

AO

=α

AB

+β

AC

，
∴（-m，1-n）=α(-2

2

-m，-n)+β(2

2

-m，-n)，
∴

-m=α(-2 2 -m)+β(2 2 -m) 1-n=-αn-βn

，
∵α+β≠1时，否则

CO

=α

CB

，由图可知是不可能的．
∴可化为

m= 2 2 (β-α) α+β-1 n= -1 α+β-1

，代入（*）可得

8(β-α)2

(α+β-1)2

+

(-α-β)2

(α+β-1)2

=9，
化为18（α+β）=9+32αβ，
利用重要不等式可得18(α+β)≤9+32(

α+β

2

)2，
化为8（α+β）²-18（α+β）+9≥0，
解得α+β≤

3

4

或α+β≥

3

2

．
又α+β＜1，故α+β≥

3

2

应舍去．
∴α+β≤

3

4

，
故α+β的最大值为

3

4

．
故选D．

点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．