Question

已知函数f（x）=

2

x

+1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）根据分式须满足分母不为零来求解；（2）用定义法证明．

解答：解：（1）要使函数有意义，须满足x≠0，
所以函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则有f(x1)-f(x2)=

2

x1

+1-

2

x2

-1=

2(x2-x1)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：（1）考察函数定义域的求法，只有分式结构，较简单．（2）考察函数单调性的证明，可以利用定义，也可利用导数．