Question

（2006•重庆一模）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去．设n小时后细胞的个数为a_n（n∈N）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an的表达式．

Answer 1

分析：（I）由细胞开始时为2个，得到a₀为2，根据分裂的规律得到a_n=2a_n-1-1，变形后得到数列{a_n-1}构成以a₀-1=1为首项，2为公比的等比数列，由首项和公比，表示出a_n-1的通项，变形后即可得到a_n的通项公式；
（II）由第一问求出的a_n的通项公式，列举出所求式子的各项，把第一项的2变为1+1后，根据1的个数有n+1个，其余各项为首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式表示出其余项的和，即可得到所求式子的表达式．

解答：解：（I）由题意可知：a₀=2，a_n=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}构成以a₀-1=1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n-1=（a₀-1）•2ⁿ=2ⁿ，
则a_n=2ⁿ+1；
（II）∵a₀=2，a_n=2ⁿ+1，
∴

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an
=2+（2+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（1+1+…+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=（n+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=n+1+

1-2n

1-2

=2ⁿ+n．

点评：此题考查了等比数列的确定，以及等比数列的求和公式，其中根据题意得出a₀=2，a_n=2a_n-1-1是解本题的关键．