Question

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这两条曲线的方程；
（2）直线l过x轴上定点N（异于原点），与抛物线交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点，试求出定点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入，可求抛物线方程．利用双曲线的定义可求双曲线方程；
（2）设l方程为x=ty+m与抛物线方程联立得y²-4ty-4m=0，利用以AB为直径的圆过原点，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而求出定点坐标．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入得P=2．∴抛物线方程为y²=4x，焦点为F（1，0）由题意知双曲线的焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0）∴c=1
对于双曲线，2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2∴a=

2

-1(a)2=3-2

2

(b)2=2

2

-2
∴双曲线方程为

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1
（2）设l方程为x=ty+m联立

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）则

y1+y2=4t y1y2=-4m

∴x1x2=

y12

4

•

y22

4

=m2
∵以AB为直径的圆过原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-4m=0，∴m=4，∴N的坐标为（4，0）

点评：本题主要考查利用待定系数法求抛物线、双曲线方程，同时考查恒过定点问题，注意挖掘题目隐含，将问题等价转化．