题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,
,且
,数列
满足
,
,对任意
,都有
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)令.若对任意的
,不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)利用,结合累乘法,求得数列
的通项公式.根据已知条件判断出数列
是等比数列,由此求得数列
的通项公式.
(2)利用错位相减求和法求得,利用差比较法证得
是递增数列,由此求得
的取值范围.化简不等式
,得
恒成立.构造函数
,对
进行分类讨论,结合二次函数的性质,求得
的取值范围.
(1)∵∴
,
当时,
∴,即
∴
又,也满足上式,故数列
的通项公式
由,知数列
是等比数列,其首项为
、公比为
,
∴数列的通项公式
(2)∵①
∴②
由①②,得
∴
∵,∴
又恒正.
故是递增数列,
∴
又.
不等式,
即,
即恒成立.
设,
当时,
恒成立,则
满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,由于对称轴
则在
上单调递减,
恒成立,则
满足条件,
综上所述,实数的取值范围是
.
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