Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，当且仅当x＞4时．f（x）＞x²-4x+5=g（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用函数在区间上的单调性，确定-1和2是两个极值点，从而确定条件关系求出参数a，b，c．
（2）求出函数f（x），g（x）的极大值和极小值，结合图象，确定实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为函数在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，所以-1，2是函数的两个极值点，即-1，2是f'（x）=0的两个根，
因为f'（x）=3x²+2ax+b，所以由根与系数之间的关系得

-1+2=- 2a 3 -1×2= b 3

解得

a=- 3 2 b=-6

．
所以f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c．
令H(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-

5

2

x2-2x+c-5，则H'（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2），
所以函数H（x）在（-∞，

1

3

），（2，+∞）上为增函数，在（-

1

3

，2）上为减函数，故

H(4)=0 H(- 1 3 )＜0

，解得c=-11．
所以此时f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11．
（2）因为f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11，则f(-1)=-

15

2

，f(2)=-21，
故当-21＜m＜-

15

2

时，直线y=m与函数f（x）的图象有3个交点，与g（x）的图象没有交点．
又g（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1≥1，故当m＞1时，直线y=m与g（x）的图象有2个交点，与f（x）的图象有1个交点，
又f（4）=g（4）=5，故当1＜m＜5或m＞5时，直线y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，
故实数m的取值范围(-21，-

15

2

)∪(1，5)∪(5，+∞)．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值的关系．对应两个函数图象的相交问题，要利用数形结合的数学思想去解决，一般是通过确定函数的极值点和最值点来确定满足条件的范围．