题目内容
【题目】函数
.
（1）若函数
在
处取得极值，求a的值；
（2）若函数
的图象在直线
图象的下方，求a的取值范围；
（3）求证：
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】
（1）利用
得到
，并利用极值的充分条件进行检验即可；
（2）由题意可得：
，由
，可化为
．设
，利用导数即可得到极值及其最值；
（3）由（2）可知：
在
上单调递减，可得
，化为
，即
，令
，即可证明．
解：（1）
，
．
函数
在
处取得极值，
，即
，解得
．
，
当
时，
，函数在
内单调递减；
当
时，
，函数在
内单调递增．
函数在时取得极小值．
（2）由题意可得：，
，
，
．
设，则
，
令
，解得
，
在区间
上单调递增；
令
，解得
，在区间上单调递减．
在
时取得极大值，即最大值， 
．
．
（3）由（2）可知：在上单调递减，
，
，化为，
，
令，可得
．
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【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数 | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
（1）请根据统计的最后三组数据，求出
关于
的线性回归方程
；
（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；
（3）若100颗小麦种子的发芽率为
颗，则记为
的发芽率，当发芽率为时，平均每亩地的收益为
元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为
，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附：在线性回归方程中，
.
