题目内容
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D .
(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程 .
已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D .
(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程 .
(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)
(Ⅱ)
本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、对称性、圆的方程、平面向量的数量积,以及考查逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的综合能力,同时考查方程的思想、数形结合的思想.
设,,,的方程为.
(Ⅰ)将代人并整理得
,
从而
直线的方程为
,
即
令
所以点在直线上
(Ⅱ)由①知,
因为 ,
故 ,
解得
所以的方程为
又由①知
故直线BD的斜率,
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线,故可设圆心,到及BD的距离分别为.
由得,或(舍去),
故圆M的半径.
所以圆M的方程为.
设,,,的方程为.
(Ⅰ)将代人并整理得
,
从而
直线的方程为
,
即
令
所以点在直线上
(Ⅱ)由①知,
因为 ,
故 ,
解得
所以的方程为
又由①知
故直线BD的斜率,
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线,故可设圆心,到及BD的距离分别为.
由得,或(舍去),
故圆M的半径.
所以圆M的方程为.
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