题目内容

【题目】已知函数f(x)=x+ 的图象过点P(1,5).
(1)求实数m的值,并证明函数f(x)是奇函数;
(2)利用单调性定义证明f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.

【答案】
(1)解: 的图象过点P(1,5),

∴5=1+m,

∴m=4

,f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

∴f(x)=﹣f(x),

f(x)是奇函数.


(2)证明:设x2>x1≥2,

又x2﹣x1>0,x1≥2,x2>2,∴x1x2>4

∴f(x2)﹣f(x1)>0,

∴f(x2)>f(x1),

即f(x)在区间[2,+∞)上是增函数


【解析】(1)代入点P,求得m,再由奇函数的定义,即可得证;(2)根据单调性的定义,设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证.
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本,需要知道单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

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