题目内容
【题目】设函数,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=0时,求函数f (x)的单调减区间;
(2)已知函数f (x)的导函数f (x)有三个零点x1,x2,x3(x1 x2 x3).①求a的取值范围;②若m1,m2(m1 m2)是函数f (x)的两个零点,证明:x1m1x1 1.
【答案】(1);(2)①
②证明见解析
【解析】
(1)当时,
,令
,即可求得单调减区间;
(2)①,令
,将
有三个零点转化为
有三个零点,对
求导,可得
的单调性,进而得到
的范围;
②将有两个零点转化为方程
有两个零点,则可得
,
,进而得到
,
,从而得证
(1)当时,
,
,
令,可得
,
的单调减区间为
(2)①由题,,
,
,设
,
是
的三个零点,
,
当时,
,则
单调递减,不符合条件;
当时,令
,则
,
在
,
单调递增,在
,
单调递减,
,
,即
,
,
②是
的两个零点,令
,则方程
的两根分别为
,
,
,
,
,即
,
,
由①,
,
又,
,即
,
故
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