Question

【题目】如图1，在中，，两点分别在上，且使，. 现将沿折起，使平面平面，得到四棱锥 （如图2）

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）根据对应边成比例，两直线平行证得，由此证得,由面面垂直的性质定理证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）如图，

因为，所以，

又，所以，即，

又平面平面，平面平面，平面ADE，

所以平面.

（2）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量为，

则由，得，

所以，取，

则为平面的一个法向量，

又平面的一个法向量为，

于是，

由图可知，二面角为锐二面角，所以其余弦值为.