Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
（1）f（x）在[m，n]上是单调的；
（2）当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
若函数f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是

0＜a＜1

．

Answer 1

分析：由条件知函数f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上分别单调递增，根据和谐区间的定义解方程组

f(m)=m f(n)=n

，即可．

解答：解：由题意可得函数f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在区间[m，n]是单调递增的，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的两个同号的不等实数根，
即

a+1

a

-

1

x

=x，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，
∵mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．

点评：本题主要考查函数单调性的应用以及一元二次根的取值和分别问题，综合性较强．