题目内容

（2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分
AB
的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x2（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2．若函数为f（x）=log2010x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．
分析：根据函数f（x）=x2（x＞0）的图象可知，此函数的图象是下凹的，由图象特征可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2，再根据对数函数的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．
解答：解：∵函数f（x）=x2（x＞0）上任意两点A（a，a2）、B（b，b2），线段AB在弧AB的上方，
设点C分
AB
的比为λ（λ＞0），则由图象中可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2
据此我们从图象可以看出：函数f（x）=x2（x＞0）的图象是向下凹的，
类比对数函数可知，对数函数f（x）=log2010x的图象是上凸的，
∴类比上述不等式，可以得到的不等式
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．
故答案为：
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．
点评：本题的考点是类比推理，考查函数图象性质的类比，解题的关键是分析图象的凹凸性．
练习册系列答案
相关题目
（2010•上海模拟）若等差数列{an}中，
lim
n→∞
n(an+n)
Sn+n
=1，则公差d=
-2
-2
．
（2010•上海模拟）一个正三棱柱和它的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为
（　　）
（2010•上海模拟）以下有四个命题：
①一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞O（k∈N），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；
②一个等比数列{an}中，若存在ak＜0，ak+1＜O（k∈N），则对于任意n∈N，都有an＜0；
③一个等差数列{an}中，若存在ak＜0，ak+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有an＜O；
④一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则对于任意n∈N，都有an．an+1＜0；
其中正确命题的个数是（　　）
（2010•上海模拟）已知复数：z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记z1z2的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log2x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．
（2010•上海模拟）设向量
s
=(x+1，y)，
t
=(y，x-1)(x，y∈R)，满足|
s
|+|
t
 |=2
2
，已知两定点A（1，0），B（-1，0），动点P（x，y），
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）已知直线m：y=x+t交轨迹C于两点M，N，（A，B在直线MN两侧），求四边形MANB的面积的最大值．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），求证：线段OG的长为定值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网