题目内容

(2010•上海模拟)对于函数y=f(x)的图象上任意两点A(a,f(a)),B(b,f(b)),设点C分
AB
的比为λ(λ>0).若函数为f(x)=x2(x>0),则直线AB必在曲线AB的上方,且由图象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函数为f(x)=log2010x,请分析该函数的图象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
分析:根据函数f(x)=x2(x>0)的图象可知,此函数的图象是下凹的,由图象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
,再根据对数函数的图象的特征,即可类比得到相应的不等式.
解答:解:∵函数f(x)=x2(x>0)上任意两点A(a,a2)、B(b,b2),线段AB在弧AB的上方,
设点C分
AB
的比为λ(λ>0),则由图象中可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2

据此我们从图象可以看出:函数f(x)=x2(x>0)的图象是向下凹的,
类比对数函数可知,对数函数f(x)=log2010x的图象是上凸的,
∴类比上述不等式,可以得到的不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

故答案为:
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
点评:本题的考点是类比推理,考查函数图象性质的类比,解题的关键是分析图象的凹凸性.
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