题目内容

已知定义在区间[-3,3]上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,对于函数y=f(x)的图象上任意两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若实数a,b满足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,则点(a,b)所在区域的面积为(  )
A、8B、4C、2D、1
分析:根据条件确定函数的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,然后利用线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域,即可得到结论.
解答:解:∵函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
由(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0,
则函数f(x)在区间[-3,3]上是减函数.
则不等式f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0等价为f(a2-2a)≤-f(2b-b2)=f(-2b+b2),
-3≤a2-2a≤3
-3≤b2-2b≤3
a2-2a≥b2-2b

-1≤a≤3
-1≤b≤3
(a-b)(a+b-2)≥0
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作出不等式组对应的平面区域如图:
则A(3,3),B(3,-1),E(1,1),
则对应区域的面积为2×
1
2
×4×2=8

故选:A.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及不等式的转化,利用条件将不等式转化为二元一次不等式组是解决本题的关键,综合性较强.
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