Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；

（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；

（2）由已知可知 ，整理为，再通过分析法将需要证明的式子转化为，若，可变形为，设，即证成立，

若，即证.

（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，

令，，且当时，，

当时，，

如图得到函数的大致图象，故当，

∴时，函数存在增区间；

（2）法1：，为函数的两个不同极值点知，为的两根，

即，，

∴，①

∴②，要证，即证，由①代入，

即证：，，

将②代入即证：③

且由（1）知，

若，则③等价于，令，，

即证成立，

而，

∴在单调递增，∴当时，

∴，所以得证；

若，则③等价于，令，，

，显然成立.

法2：要证，又由（1）知，，

当时，要证上式成立，即证，易知显然成立；

当时，，故只需，即证，也即证，

由于时单调递增，故即证，而，

只需证，成立，令，

只需证在时成立，

而，故在单调递增，

所以，故原不等式得证.