题目内容

【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣b)(b∈R).若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,则实数b的取值范围是(
A.(﹣∞,
B.(﹣∞,
C.(﹣
D.( ,+∞)

【答案】A
【解析】解:∵f(x)=ex(x﹣b),

∴f′(x)=ex(x﹣b+1),

若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,

则若存在x∈[ ,2],使得ex(x﹣b)+xex(x﹣b+1)>0,

即存在x∈[ ,2],使得b< 成立,

令g(x)= ,x∈[ ,2],

则g′(x)= >0,

g(x)在[ ,2]递增,

∴g(x)最大值=g(2)=

故b<

故选:A

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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