Question

17．如图，圆O的直径AD=2，动弦BC垂直于AD．设∠AOB=α，△ABC的面积为S．
（1）试建立S关于α的函数关系；
（2）当α为何值时，S取得最大值，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，当$0＜α＜\frac{π}{2}$时，设BC∩AD=M，则BM=sinα，OM=cosα，可得S=$\frac{1}{2}BC•AM$=sinα（1-cosα）；同理可得：当$α=\frac{π}{2}$时，当$\frac{π}{2}＜α＜π$时，S=sinα（1-cosα）．
（2）S′=cosα-（cos²α-sin²α）=-（2cosα+1）（cosα-1），分别解出S′＞0与S′＜0即可得出．

解答 解：（1）如图所示，当$0＜α＜\frac{π}{2}$时，设BC∩AD=M，则BM=sinα，OM=cosα，
∴AM=1-cosα．
∴S=$\frac{1}{2}BC•AM$=$\frac{1}{2}×2sinα（1-cosα）$=sinα（1-cosα）；
同理可得：当$α=\frac{π}{2}$时，S=1；
当$\frac{π}{2}＜α＜π$时，S=sinα（1-cosα）．
综上可得：S=sinα（1-cosα）．α∈（0，π）．
（2）S′=cosα-（cos²α-sin²α）=-（2cosα+1）（cosα-1），
令S′=0，解得cosα=-$\frac{1}{2}$或1．
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{2π}{3}$．
∴当$0＜α＜\frac{2π}{3}$时，S′＞0，函数S单调递增；当$\frac{2π}{3}＜α＜π$时，S′＜0，函数S单调递减．
∴当$α=\frac{2π}{3}$时，S取得最大值，S=$sin\frac{2π}{3}（1-cos\frac{2π}{3}）$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了圆的性质、垂经定理、直角三角形的边角关系、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．