Question

15、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用A_n，B_n表示在第n个星期一分别选A、B的人数．
（1）试用A_n，B_n，表示A_n+1．
（2）证明A_n+1=0.5A_n+300．
（3）若A₁=a，则A_n=（0.5）^n-1（a-600）+600  （n≥1）．

Answer 1

分析：（1）根据“凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A”，可得  A_n+1=0.8A_n+0.3B_n；
（2） 由学校餐厅每天供应1000名学生用餐，得到B_n=1000-A_n代入 A_n+1=0.8A_n+0.3B_n，可证；
（3）根据（2）的结果，根据A_n+1=0.5A_n+300，两边同时加同一个常数，构造一个等比数列，求通项公式，即可求得结果．

解答：解：（1）∵凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用A_n，B_n表示在第n个星期一分别选A、B的人数，
得  A_n+1=0.8A_n+0.3B_n   ①
（2）∵学校餐厅每天供应1000名学生用餐，
∴B_n+A_{n^=1000，即}B_n=1000-A_n^并代入①，
得A_n+1=0.5A_n+300．   ②
（3） 设A_n+1+λ=0.5（A_n+λ），即A_n+1=0.5A_n-0.5λ，得-0.5λ=300，∴λ=-600．
∴{A_n-600}是以A₁-600=a-600为首项，公比为0.5的等比数列．
∴A_n-600=（a-600）×0.5^n-1．
∴A_n=600+（a-600）×0.5^n-1

点评：此题是个中档题．考查根据实际问题抽象数列模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力．