Question

已知函数f(x)=

a2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；
（2）当a=-1时，求f（x）的反函数；
（3）对于问题（1）中的A，当a∈{a|a＜0，a∉A}时，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，可求a=-1；
（2）当a=-1时，用y表示x，再将x，y互换，定义域为原函数的值域；
（3）原问题转化为g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，利用函数思想可解．

解答：解：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，
所以a=-1，…（2分）
下面证充分性，当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，
任取x≠0，x∈R，f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2-x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

=0恒成立，…（4分）
由A={-1}．…（5分）
（2）当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，其值域是(-∞，-1)∪(1，+∞)…（7分）
得x=log2

y-1

y+1

，互换x，y得f-1(x)=log2

x-1

x+1

，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)…（10分）
（3）原问题转化为g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}
恒成立，则

x-4＜0 g(0)≥0

…（12分）
或

x-4=0 g(0)＞0

…（14分）
则x的取值范围为[，4]．…（16分）

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的性质，考查恒成立问题，考查求反函数，关键是等价转化．