Question

对于函数f(x)=x2+lg(x+

x2+1

)有以下四个结论：
①f（x）的定义域为R；
②f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③f（x）是偶函数；
④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a²-m．
正确的命题是

①②④

．

Answer 1

分析：①根据真数大于零，可知x+

x2+1

＞0恒成立，求出定义域为R；②根据复合函数的单调性的判定方法，同增异减，可以判定函数y=lg（x+

x2+1

）在R上是增函数，根据在同一定义域内增函数+增函数=增函数，可知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；③举例说明即可，验证f（-1）≠f（1），即可说明函数不是偶函数；④根据g（x）=f（x）-x²=lg（x+

x2+1

），利用奇偶性的定义判定函数是奇函数，求出g（a）=f（a）-a²=m-a²，从而求得g（-a），进而求得f（-a）的值．

解答：解：①要使函数有意义，须x+

x2+1

＞0，而x+

x2+1

＞0恒成立，
∴函数的定义域为R，故①正确；
②已知函数y=x²在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（x+

x2+1

）也是增函数，
令t=x+

x2+1

，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t=x+

x2+1

在R上是增函数，
根据复合函数的单调性可知y=lg（x+

x2+1

）在R上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确；
③f(-1)=1 +lg(-1+

1+1

)=1 +lg(-1+

2

)，
而f(1)=1 +lg(1+

1+1

)=1 +lg(1+

2

)，
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错；
④令g（x）=f（x）-x²=lg（x+

x2+1

），则g（x）+g（-x）=lg（x+

x2+1

）+lg（-x+

(-x)2+1

）
=lg[(x+

x2+1

)(-x+

(-x)2+1

)]=lg1=0，
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a²=m-a²，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a²，
∴f（-a）=g（-a）+a²=2a²-m，故④正确；
故正确的命题是①②④，
故答案为：①②④．

点评：本题是中档题，考查对数函数的有关性质，定义域、复合函数的单调性、奇偶性等问题，利用基本函数的基本性质解答问题，是解好数学问题的关键．