Question

数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=p，p＞0，k∈N^*，a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ．
（1）当k=1，f（p，k）=p+k，p=5时，求a₂，a₃；
（2）若数列{a_n}成等比数列，请写出f（p，k）满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明）；
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1，求T_n．

Answer 1

解：（1）由题意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，
∵a₁=p=5，
∴a₂=25，a₃=125
（2）数列{a_n}成等比数列，设公比为q，则a_n=p×q^n-1，
∴a_n+k=p×q^n+k-1，
∴a_n+a_n+k=p×q^n-1+p×q^n+k-1=（1+q^k）×p×q^n-1，
∵a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ
∴q=p时，f（p，k）=1+p^k时，a_n+a_n+k=（1+p^k）•pⁿ且a_n=pⁿ．
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ．
由（2）知，∴T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=（1+p）（p+p²+…+pⁿ）
p=1时，T_n=2n；当p≠1且p＞0时，T_n=．
分析：（1）由题意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，利用a₁=p=5，代入计算，即可求得a₂，a₃；
（2）设出公比，利用a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ，即可得到当f（p，k）=1+p^k时，a_n=pⁿ．
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ，再利用分组求和，即可得到结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．