题目内容

给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线，c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；
②若直线a与b异面，过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线；
③若直线a与b异面，则存在唯一 一个过a的平面α与b平行．
其中正确的命题为（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①③
【答案】分析：画出图形判断①的正误；通过反例判断②的正误；利用直线与平面平行关系判断③的正误．
解答：解：对于①，平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线，如图，c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；c与a、b都相交；故命题①不正确；
对于②，若直线a与b异面，过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线，例如正方体中，上下底面的异面直线，在上底面取步骤异面直线上的点，不存在满足②的直线．所以②不正确．
对于③，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以③正确．
故选C．
点评：本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，异面直线的应用，考查逻辑推理能力．
练习册系列答案
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给出下列命题：
①|
a
-
b
|≤|
a
|-|
b
|；②
a
，
b
共线，
b
，
c
平，则
a
与
c
为平行向量；③
a
，
b
，
c
为相互不平行向量，则（
b
-
c
）
a
-（
c
-
a
）
b
与
c
垂直；④在△ABC中，若a2taanB=b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
⊥（
b
-
c
）   
其中错误的有
 
．
设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，
②若α⊥γ，β⊥γ，且αnβ=l，则l⊥γ
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平而α垂直，
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β
上面命题中，真命题的序号为
①②
①②
．（写出所有真命题的序号）
给出下列命题：
①|
a
-
b
|≤|
a
|-|
b
|；②
a
，
b
共线，
b
，
c
平，则
a
与
c
为平行向量；③
a
，
b
，
c
为相互不平行向量，则（
b
-
c
）
a
-（
c
-
a
）
b
与
c
垂直；④在△ABC中，若a2taanB=b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
⊥（
b
-
c
）   
其中错误的有______．
给出下列命题：
①|-|≤||-||；②，共线，，平，则与为平行向量；③，，为相互不平行向量，则（）-（-）与垂直；④在△ABC中，若a2taanB=b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤•=•，则⊥（-）   
其中错误的有    ．
设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，
②若α⊥γ，β⊥γ，且αnβ=l，则l⊥γ
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平而α垂直，
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β
上面命题中，真命题的序号为    ．（写出所有真命题的序号）

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