题目内容
【题目】如图，圆台
的轴截面为等腰梯形
，
圆台的侧面积为
.若点
分别为圆
上的动点，且点在平面的同侧.
（1）求证:
；
（2）若
，则当三棱锥
的体积取最大值时，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）根据圆台侧面积公式可以求出上下两底面的半径，根据线面垂直的性质、直角三角形的判断方法进行证明即可；
（2）根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式确定
点位置，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
（1）证明:设圆
的半径分别为
因为圆台的侧面积为
，
所以
，可得
因此，在等腰梯形
中，
.
如图，连接线段
，
在圆台
中，
平面
平面
，
所以
.
又
，
所以在
中，
.
在
中，
，
故
，即
.
（2）解:由题意可知，三棱锥
的体积为
又在直角三角形中，
所以当且仅当
，
即点为弧
的中点时，有最大值
连接
，因为平面
，
所以以
为坐标原点，
分别以
的方向为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
点
，
由
可知
，
设平面
的法向量
则
，
，
取
，
则
所以
与平面所成角的正弦值为
【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
数学成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成绩 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为
，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩
关于数学成绩
的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程
，
其中
，
.
|
|
|
|
76 | 83 | 812 | 526 |
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：
甲套设备的样本的频率分布直方图
乙套设备的样本的频数分布表
质量指标值 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 1 | 6 | 19 | 18 | 5 | 1 |
（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式：
，其中
【题目】改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪
年代的
万件提升到2018年的
亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于
)收费
元，续重
元
(不足按算). (如:一个包裹重量为
则需支付首付元，续重元，一共
元快递费用)
（1）若你有三件礼物
重量分别为
，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:
合为一个包裹，
一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？
（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了
天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:
包裹数(单位:件) |
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天数(天) |
|
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|
现用这天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取
天，记这天中日揽收包裹数超过
件的天数为随机变量
求
的分布列和期望
