Question

已知函数f（x）=-x³+12x，（1）求函数的单调区间；（2）当x∈[-3，1]时，求函数的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）求导数f'（x），然后根据导数f'（x）的零点得出导数大于零和导数小于零的区间，导数大于零的区间是函数的增区间，而导数小于零的区间是函数的减区间；
（2）根据（1）将区间[-3，1]，分成两段：在区间（-3，-2）上函数为减函数，在区间（-2，1）上函数为增函数．从而得到f（-2）是函数的最小值，而最大值是f（-3）和f（1）两者的较大者．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²+12=-3（x-2）（x+2），
由f'（x）＞0，得x∈（-2，2），∴x∈（-2，2）时，函数为增函数；
同理x∈（-∞，-2）或x∈（2，+∞）时，函数为减函数．
综上所述，函数的增区间为（-2，2）；减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）…（4分）
（2）由（1）结合x∈[-3，1]，得下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	端点函数值 f（-3）=-9	单调 递减	极小值f（-2）=-16	单调 递增	端点函数值 f（1）=11

比较端点函数及极值点的函数值，得
x=-2时，f（x）_min=f（x）_极小值=f（-2）=-16，
x=1时，f（x）_max=f（1）=11
综上所述，函数的最大值为11，最小值为-16…（8分）

点评：本题着重考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等等知识点，属于中档题．