题目内容
已知函数f(x)=ax
2-bx+c(a>0,b、c∈R),曲线y=f(x)经过点P(0,2a
2+8),且在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,设g(x)=(f(x)-16)•e
-x.
(1)用a分别表示b和c;(2)当
取得最小值时,求函数g(x)的单调递增区间.
分析:(1)将P的坐标代入函数f(x)得到a,c的关系,求出导函数在x=-1处的值即切线的斜率,令其为0得到a,b的关系.
(2)将(1)中的关系代入
得到关于a的函数,利用基本不等式求出最小值,求出等号成立时a的值,代入g(x);求出g(x)的导数,令导数大于0求出x范围即为函数的定义域.
解答:解:(1)∵经过点P(0,2a
2+8),
∴c=2a
2+8;
由切线垂直于y轴可知f′(-1)=0,从而有-2a+b=0,
∴b=2a
(2)因为a>0从而
==a+≥2=4,
当且仅当
a=,即a=2时取得等号.
∴f(x)=2x
2+4x+16;g(x)=(2x
2+4x)e
-x∴g′(x)=e
-x(4-2x
2)
因为e
-x>0
∴g′(x)>0时g(x)为单调递增函数,即
(-,)为单调递增区间
点评:利用基本不等式求函数的最值时,一定注意基本不等式使用的条件:一正、二定、三相等;导数在切点处的导数值为切线的斜率.
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