Question

判定下列命题的真假

（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；

（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。

Answer 1

解析:

（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，

如图2－55，正方体AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁＝AD，

在AD上取点A，连结AB₁，则AB₁⊥AD，即过棱上一点A的直线AB₁

与棱垂直，但AB₁与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB₁没有保证在平面ADD₁A₁内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；

（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正方体AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A₁，AB平面ABCD，且AB⊥AD₁，即AB与AD₁相互垂直，但AD₁与平面ABCD不垂直；

（3）如图2－56：正方体AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁与AC所成的角为60，即AD₁与AC不垂直

由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。   

点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。