Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx+$\sqrt{3}sinx，1$），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，a）（a∈R），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$在R上的最小值为2．
（Ⅰ）求a的值，请求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数t（x）=g（x）-5在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的所有零点之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得f（x），化积后由f（x）_min=a-1=2求得a=3，则函数解析式可求，然后利用复合函数单调性的求法求得f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）利用已知变换可得g（x）=2sin（$4x-\frac{π}{6}$）+4，令t（x）=g（x）-5=0，可得2sin（$4x-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由此求得[$-\frac{π}{2}，0$]内的零点得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a$，
则f（x）=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1．
∵x∈R，∴f（x）_min=a-1=2，即a=3．
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，
得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$．
∴f（x）的单调递减区间为[$kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），
得到函数y=g（x）的图象，可得g（x）=2sin（$4x-\frac{π}{6}$）+4，
令t（x）=g（x）-5=0，可得2sin（$4x-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
解得$4x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$4x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$，
即$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$或$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}$（k∈Z）．
∵x∈[$-\frac{π}{2}，0$]，∴x=-$\frac{5π}{12}$或-$\frac{π}{4}$．
故所有零点之和为$-\frac{5π}{12}-\frac{π}{4}=-\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．考查三角函数单调性的性质及函数零点的求法，是中档题．