题目内容
已知椭圆
过点
，且离心率
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）是否存在过点
的直线
交椭圆于不同的两点M、N，且满足
（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在直线
：
或
满足题意
【解析】
试题分析：（1）∵椭圆
过点
，且离心率
，
∴
， ……2分
解得：
,
， ……4分
∴椭圆的方程为：. ……5分
（2）假设存在过点
的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足
． ……6分
若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y轴所在直线,
∴直线与椭圆的两不同交点M、N就是椭圆短轴的端点,
∴
,
∴
,
∴直线的斜率必存在，不妨设为k
, ……7分
∴可设直线的方程为：
，即
,
联立
,消y得 
,
∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N,
∴
得：
① ……8分
设
,
∴
,
∴
, ……9分
又,
∴
,
化简得
,
∴
或
，经检验均满足①式, ……10分
∴直线的方程为：
或
, ……11分
∴存在直线：或满足题意． ……12分
考点：本小题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系.
点评：涉及到直线与圆锥曲线的位置关系时，如果需要设出直线方程，不要忘记考虑直线的斜率是否存在，联立直线与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零.
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=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
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，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
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，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
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，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．