Question

空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）证明BC∥EF，EF∥HG．然后证明四边形EFGH为平行四边形．
（2）设

AE

AB

=x，求出EH=（1-x）a．推出S_{四边形EFGH}=EF•EH•sin60°=

3

8

a2．推出E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为

3

8

a2．

解答：证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可证EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
解：（2）∵AD与BC成角为60°，
∴∠HEF=60°（或120°），设

AE

AB

=x，
∵

EF

BC

=

AE

AB

=x，BC=a，
∴EF=ax，由

EH

AD

=

BE

AB

=

1-x

1

，得EH=（1-x）a．
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•

3

2

=

3

2

a2•x（1-x）≤

3

2

a2•(

x+1-x

2

)2=

3

8

a2．
当且仅当x=1-x，即x=

1

2

时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为

3

8

a2．

点评：本题考查几何图形的证明与判定，几何体体积的求法，考查计算能力．