题目内容
如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．
分析：将
用
，
来表示；
用
，
表示；利用向量的运算律及向量垂直的数量积为0求出
•
；判断出垂直．
| AC |
| AB |
| BC |
| BD |
| AD |
| AB |
| AC |
| BD |
解答：证明：
•
=(
+
) • (
-
)=
•
-
•
-
•
-
•
=
•
-
•
-0-
•
=
•(
-
-
)=
•(
-
)
=
•
=0
故AC与BD互相垂直．
| AC |
| BD |
| AB |
| BC |
| AD |
| AB |
| AB |
| AD |
| AB |
| AB |
| BC |
| AD |
| BC |
| AB |
=
| AB |
| AD |
| AB |
| AB |
| BC |
| AB |
=
| AB |
| AD |
| AB |
| BC |
| AB |
| BD |
| BC |
=
| AB |
| CD |
故AC与BD互相垂直．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律利用想向量垂直判断线垂直．
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