题目内容

已知函数 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R,
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
分析:(Ⅰ)求出函数定义域及导数f′(x)=
(2ax-1)(x-1)
x
,分①a=0,②0<a<
1
2
,③a=
1
2
,④a>
1
2
,⑤a<0五种情况进行讨论解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,解出不等式即为单调区间;
(Ⅱ)证明不等式|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|
≥2,可证明|f′(x)|≥2,利用导数可转化为函数的最值问题证明;
解答:解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2ax-(2a+1)+
1
x
=
2ax2-(2a+1)x+1
x
=
(2ax-1)(x-1)
x

①若a=0,则f′(x)=
-(x-1)
x
,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
②若0<a<
1
2
,令f′(x)>0,得0<x<1或x>
1
2a
,令f′(x)<0,得1<x<
1
2a

所以f(x)在(0,1),(
1
2a
,+∞)上递增,在(1,
1
2a
)上递减;
③若a=
1
2
,f′(x)=
(x-1)2
x
≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
令f′(x)>0,得0<x<
1
2a
,或x>1,令f′(x)<0,得
1
2a
<x<1,
所以f(x)在(0,
1
2a
),(1,+∞)上单调递增,在(
1
2a
,1)上单调递减;
⑤若a<0,令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,
所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
综上,a=0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上递减;0<a<
1
2
时,f(x)在(0,1),(
1
2a
,+∞)上递增,在(1,
1
2a
)上递减;
a=
1
2
时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;a>
1
2
时,f(x)在(0,
1
2a
),(1,+∞)上单调递增,在(
1
2a
,1)上单调递减;
a<0时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
(Ⅱ)|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|
≥2,所以有|f′(x)|≥2.
所以证明对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,
只需证明|f′(x)|≥2,即证明|
(2ax-1)(x-1)
x
|
≥2对任意x∈(2,+∞)成立,也即证明2a≤
-x-1
x(x-1)
(x>2),
令g(x)=
-x-1
x(x-1)
(x>2),则g′(x)=
x2+2x-1
x2(x-1)2

当x>2时,g′(x)>0,所以g(x)在(2,+∞)上单调递增,g(x)>g(2)=-
3
2

而a<-1时,2a<-2,所以2a<-
3
2
<g(x),即2a≤
-x-1
x(x-1)
(x>2)成立.
故a<-1时,对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查分类讨论思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,属难题.
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